Коллинеарные векторы в математике¶

Коллинеарные векторы — это векторы, лежащие на параллельных прямых либо на одной и той же прямой. Иными словами, два ненулевых вектора коллинеарны, если направления задаваемых ими прямых совпадают или параллельны. Понятие относится к базовым в векторной алгебре и аналитической геометрии и лежит в основе определения линейной зависимости векторов, работы с базисом и координатами.

¶Определение и условия

Пусть даны векторы a и b. Они называются коллинеарными, если существует такое число λ, что выполняется равенство a = λb. Коэффициент λ называют коэффициентом коллинеарности. Если λ > 0, векторы сонаправлены (одинаково ориентированы); если λ < 0 — противоположно направлены; при λ = 0 вектор a оказывается нулевым.

Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору, поскольку его можно представить как 0 · b. Это единственное исключение: для всех остальных случаев коллинеарность означает принадлежность к одному семейству параллельных прямых.

Коллинеарность — частный случай линейной зависимости. Система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда они коллинеарны. Именно поэтому в двумерном пространстве любые два неколлинеарных вектора образуют базис, а в трёхмерном базис составляют три некомпланарных вектора.

¶Координатный критерий

Если векторы заданы координатами в прямоугольной системе, условие коллинеарности записывается через пропорциональность соответствующих координат:

• на плоскости: a = (aₓ, a_y), b = (bₓ, b_y), коллинеарность равносильна равенству aₓ · b_y − a_y · bₓ = 0;
• в пространстве: a = (aₓ, a_y, a_z), b = (bₓ, b_y, b_z), условие имеет вид aₓ / bₓ = a_y / b_y = a_z / b_z (при ненулевых знаменателях).

Эквивалентная запись — равенство нулю векторного произведения: [a, b] = 0. Для плоского случая это же условие выражается через определитель второго порядка. Удобство координатного критерия в том, что он не требует геометрических построений и сводит проверку к вычислениям.

¶Связанные понятия

С коллинеарностью тесно связаны несколько родственных определений:

• Сонаправленность — коллинеарность с одинаковым направлением (λ > 0).
• Противоположная направленность — коллинеарность с противоположными направлениями (λ < 0).
• Компланарность — принадлежность векторов одной плоскости; три вектора компланарны, если их смешанное произведение равно нулю. Коллинеарные векторы всегда компланарны, обратное неверно.
• Ортогональность — перпендикулярность; ненулевые коллинеарные векторы ортогональны лишь в вырожденном случае, когда хотя бы один из них нулевой.

¶Применение

Коллинеарность используется в самых разных разделах математики и её приложений.

В аналитической геометрии через неё формулируются условия параллельности прямых и плоскостей, проверяется принадлежность точек одной прямой. Например, три точки лежат на одной прямой, если векторы, соединяющие их попарно, коллинеарны.

В линейной алгебре коллинеарность — простейший случай линейной зависимости; на ней строится понятие ранга системы векторов и размерности линейного пространства.

В физике коллинеарными называют силы, действующие вдоль одной прямой, скорости и ускорения при прямолинейном движении, векторы напряжённости и индукции в отдельных задачах электродинамики. Сложение коллинеарных сил сводится к алгебраическому сложению их модулей с учётом знака.

В вычислительной геометрии и компьютерной графике проверка коллинеарности применяется при отсечении отрезков, построении выпуклых оболочек, определении вырожденных треугольников.

¶Примеры

1. Векторы a = (2, 4) и b = (1, 2) коллинеарны: a = 2b, коэффициент λ = 2.
2. Векторы c = (3, −6) и d = (−1, 2) коллинеарны и противоположно направлены: c = −3d.
3. Векторы m = (1, 0) и n = (0, 1) не коллинеарны — они образуют стандартный базис плоскости.
4. Нулевой вектор 0 коллинеарен любому вектору по определению.

¶Типичные ошибки

Распространённое заблуждение — отождествление коллинеарности и равенства векторов. Равные векторы обязательно коллинеарны, но обратное неверно: коллинеарные векторы могут различаться как по длине, так и по направлению. Другая ошибка — считать коллинеарными векторы, лежащие на параллельных прямых, но не проверять их направление при решении задач, где важна ориентация (например, при вычислении работы силы).

Также следует помнить, что при координатной проверке нельзя делить на нулевую координату: если какая-то координата одного вектора равна нулю, корректнее пользоваться определителем или векторным произведением, а не пропорцией.

¶Обобщения

Понятие коллинеарности обобщается на случай произвольного линейного пространства: два элемента коллинеарны, если один получается из другого умножением на скаляр. В функциональном анализе аналогом служит линейная зависимость функций, в проективной геометрии — принадлежность точек одной прямой. В тензорном исчислении и дифференциальной геометрии близкие идеи возникают при изучении касательных пространств и полей направлений.

Источники: учебники по аналитической геометрии и линейной алгебре, справочники по элементарной математике, курсы общей физики.