Какое число — понятие и свойства¶
Какое число — термин, используемый в математике и логике для обозначения понятия числа как объекта изучения, а также для формулирования вопросов о принадлежности объекта к классу чисел. В школьной и вузовской математике вопрос «какое это число?» служит основным способом классификации чисел по свойствам: натуральные, целые, рациональные, иррациональные, действительные, комплексные, простые, составные, чётные, нечётные, положительные, отрицательные, нулевые.
¶Классификация чисел
¶По типу
| Тип | Обозначение | Описание |
|---|---|---|
| Натуральные | ℕ | 1, 2, 3, … (в ряде традиций — с нулём) |
| Целые | ℤ | ℕ и их противоположные, включая 0 |
| Рациональные | ℚ | Вид m/n, где m, n ∈ ℤ, n ≠ 0 |
| Иррациональные | — | Действительные, не являющиеся рациональными (√2, π, e) |
| Действительные | ℝ | Рациональные и иррациональные |
| Комплексные | ℂ | Вид a + bi, где i² = −1 |
¶По свойствам
- Простые — натуральные числа > 1, имеющие ровно два делителя (2, 3, 5, 7, 11…). Единственное чётное простое число — 2.
- Составные — натуральные числа > 1, имеющие более двух делителей (4, 6, 8, 9…).
- Чётные — делятся на 2 без остатка; нечётные — не делятся.
- Положительные, отрицательные и ноль — классификация по знаку на прямой чисел.
¶История понятия
Понятие числа формировалось постепенно. Древние египтяне и вавилоняне использовали натуральные числа и дроби для практических задач счёта и землемерия. Греческие математики, в частности пифагорейцы, считали числа основой мироздания, однако столкнулись с кризисом, когда доказали иррациональность √2 — факт, разрушавший представление о том, что любое отношение можно выразить отношением целых чисел.
Средневековая и новоевропейская математика расширила понятие: появилось понятие нуля (через индийскую и арабскую математику), отрицательные числа получили признание в XVI–XVII веках, а комплексные числа — в XVI–XVIII веках (работы Джероламо Кардано, Рафаэля Бомбелли, Леонарда Эйлера). Полное обоснование действительных чисел как непрерывной оси было дано в XIX веке в работах Рихарда Дедекинда и Георга Кантора.
¶Вопрос «какое число» в математическом образовании
В российской школьной программе классификация чисел входит в курс алгебры 5–7 классов. Ученикам предлагается определить тип числа по его виду или свойствам: например, −7 — целое отрицательное, 0,5 — рациональное, √9 — натуральное (так как равно 3), π — иррациональное. Подобные задания формируют понимание иерархии множеств чисел: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ.
¶Смежные понятия
Помимо классических типов, в математике рассматриваются модули, кватернионы, p-адические числа, гиперкомплексные системы. В теории множеств Карто́р показал, что множества натуральных, рациональных и действительных чисел имеют разную мощность: ℕ и ℚ — счётны, ℝ — несчётны, что подчёркивает принципиальное отличие иррациональных чисел от рациональных.
¶Источники
- Кудрявцев Л. Д. «Курс истории математики».
- Новиков Л. А. «Элементы математической логики».
- Виленкин Н. Я. «Математика. 5 класс».
- Дедекинд Р. «Непрерывность и иррациональные числа».