Извлечение корней из чисел¶

Извлечение корней — математическая операция, обратная возведению в степень: извлечение корня степени n из числа a — это число, при возведении в степень n дающее a. Наиболее распространены квадратный корень (степень 2) и кубический корень (степень 3). Операция находит применение в алгебре, геометрии, физике и инженерных расчётах.

¶Основные понятия

Квадратный корень из числа a обозначается √a. Число, которое возводится в степень, называется подкоренным выражением. Если x² = a, то x — квадратный корень из a. У положительного числа всегда два квадратных корня: положительный и отрицательный; по соглашению символом √a обозначают арифметический (неотрицательный) корень.

Кубический корень обозначается ∛a. У любого вещественного числа ровно один кубический корень, причём знак корня совпадает со знаком подкоренного числа: ∛(−8) = −2.

¶Квадратный корень

¶Метод нахождения вручную

До появления электронных калькуляторов квадратные корни извлекались таблично или приближённо. Один из классических методов — деление удвоением. Он основан на формуле (a + b)² = a² + 2ab + b². Алгоритм:

1. Разделить число на разрядные группы справа налево (по два знака).
2. Найти наибольший разряд a, чей квадрат не превышает первую группу.
3. Вычесть квадрат, удвоить остаток, подобрать следующую цифру b так, чтобы (2a·10 + b)·b не превышало оставшееся число с учётом следующей группы.
4. Повторять шаг, добавляя по одной цифре к результату.

Например, √1521: первая группа 15, наибольший квадрат ≤ 15 — 9 = 3², остаток 6; удвоенное 6, следующая группа 21; подбираем b = 4: (60 + 4)·4 = 256 > 621? Нет, 256 ≤ 621, проверяем b = 5: (60+5)·5 = 325 ≤ 621; b = 6: 396 ≤ 621; b = 7: 469 ≤ 621; b = 8: 544 ≤ 621; b = 9: 621 ≤ 621. Значит √1521 = 39.

¶Метод Ньютона (метод касательных)

Итерационная формула для приближённого вычисления √a:

xₙ₊₁ = ½ (xₙ + a / xₙ)

Начальное приближение x₀ выбирается произвольно положительным; последовательность сходится к √a очень быстро — число верных цифр примерно удваивается на каждом шаге. Для √2 при x₀ = 1: x₁ = 1.5, x₂ = 1.41666…, x₃ = 1.4142157… — уже совпадает с √2 ≈ 1.41421356.

¶Кубический корень

Кубический корень можно вычислять методом Ньютона по формуле:

xₙ₊₁ = ⅓ (2xₙ + a / xₙ²)

Для ∛27 при x₀ = 3 результат достигается за один шаг. В отличие от квадратного корня, кубический корень определён для всех вещественных чисел, включая отрицательные.

¶Свойства корней

• √(a·b) = √a · √b (при a, b ≥ 0)
• √(a/b) = √a / √b (при a ≥ 0, b > 0)
• √(a²) = |a|
• (ⁿ√a)ⁿ = a
• ⁿ√(aᵐ) = a^(m/n)

Из отрицательного числа в вещественных числах корень чётной степени не извлекается — в этом случае корень является мнимым числом: √(−4) = 2i, где i — мнимая единица.

¶Корни многочленов

В алгебре понятие «корень» имеет другое значение: корень уравнения f(x) = 0 — это значение x, обращающее многочлен в ноль. Число корней многочлена n-й степени над полем комплексных чисел не превышает n (основная теорема алгебры). Для квадратного уравнения ax² + bx + c = 0 корни находятся по формуле:

x = (−b ± √(b² − 4ac)) / (2a)

Величина D = b² − 4ac называется дискриминантом: при D > 0 уравнение имеет два различных корня, при D = 0 — один (кратный), при D < 0 — два комплексных корня.

¶Корни извлекаемых чисел

Квадратные корни некоторых целых чисел:

ЗнаниеPerfect squares до 20² существенно ускоряет решение алгебраических задач.

¶Применение

Извлечение корней применяется при решении геометрических задач (нахождение стороны прямоугольного треугольника по теореме Пифагора: c = √(a² + b²)), в формуле периода маятника T = 2π√(l/g), при вычислении среднеквадратического отклонения, в задачах на проценты и сложные проценты (извлечение корня n-й степени для определения среднегодовой ставки), а также в статистике и инженерных расчётах.