Исходная точка в математике и логике¶

Исходная точка — начальное состояние, положение или значение, принятое за основу при выполнении вычислений, измерений, построений или рассуждений. Термин применяется в математике, физике, программировании, картографии и теории игр; в зависимости от области под ним понимают либо точку отсчёта координат, либо базовый элемент логической системы, либо исходное состояние процесса.

¶Математика и аналитическая геометрия

В аналитической геометрии исходной точкой называют начало координат — точку пересечения осей системы координат, которой обычно приписывают координаты (0, 0) в декартовой плоскости и (0, 0, 0) в трёхмерном пространстве. Выбор начала координат произволен: при решении задачи его располагают так, чтобы уравнения кривых и поверхностей принимали наиболее простой вид. Например, при изучении движения тела в вертикальной плоскости началом координат нередко выбирают точку старта тела, а при анализе симметричных фигур — центр симметрии.

В сферической системе координат роль исходной точки играет центр сферы, от которого отмеряются радиус и углы. В цилиндрических координатах аналогично выделяют точку на оси, служащую началом отсчёта.

¶Вычислительная математика и численные методы

В численном анализе исходная точка — это приближение к решению уравнения или системы, с которого начинается итерационный процесс. Качество выбора начального приближения определяет сходимость алгоритма: для метода Ньютона, метода простой итерации, метода деления отрезка пополам и их модификаций от начального значения зависит, будет ли последовательность приближений стремиться к искомому корню.

Например, при решении уравнения вида f(x) = 0 методом Ньютона последовательность точек строится по формуле xₙ₊₁ = xₙ − f(xₙ)/f′(xₙ), где x₀ — исходная точка. Если производная вблизи x₀ близка к нулю, метод может расходиться, поэтому подбор начального приближения — важная практическая задача.

¶Теория графов и дискретная математика

В теории графов исходной точкой маршрута называют вершину, из которой начинается путь. В задачах кратчайшего пути — алгоритмах Дейкстры, Беллмана — Форда, поиска в ширину — алгоритм явно задаёт стартовую вершину, а вычисления строятся относительно неё. В задаче коммивояжёра исходная точка совпадает с конечной: маршрут начинается и заканчивается в одном и том же городе.

¶Программирование и вычислительная техника

В программировании исходная точка — стартовое состояние выполнения программы или алгоритма. В рекурсивных функциях это базовый случай, при наступлении которого рекурсия прекращается. В графических библиотеках и системах координат экрана началом координат обычно служит левый верхний угол окна, а в векторной графике — произвольная точка, задаваемая программистом.

При отладке программ исходной точкой называют адрес первой инструкции, с которой начинается исполнение, — точку входа (entry point) исполняемого файла.

¶Физика и измерения

В экспериментальной физике исходная точка — состояние системы, принятое за нулевое при измерении. При построении графиков зависимости одной величины от другой начало координат выбирают так, чтобы данные были наглядны; при этом нулевое значение физической величины (температура, давление, время) может не совпадать с началом координат на графике.

В кинематике исходной точкой траектории называют положение тела в начальный момент времени t = 0, от которого отсчитываются перемещения и координаты.

¶Картография и навигация

В геодезии и картографии исходной точкой называют пункт государственной геодезической сети, от которого ведётся съёмка или вычисление координат. Началом отсчёта долгот на картах служит Гринвичский меридиан, принятое на международном уровне в 1884 году на Международном меридианном конгрессе в Вашингтоне.

¶Логика и теория доказательств

В математической логике исходной точкой рассуждения называют аксиому — утверждение, принимаемое без доказательства. Совокупность аксиом образует основание формальной системы, из которого выводятся все остальные теоремы. Примеры — аксиомы Пеано для натуральных чисел, аксиомы теории множеств Цермело — Френкеля, аксиомы евклидовой геометрии.

¶Слово в русском языке

Слово «исходная» образовано от глагола «исходить» и является производным прилагательным; в словарях фиксируется значение «та, с которой начинается движение, действие, расчёт». Сочетание «исходная точка» устойчиво и выступает как термин в нескольких областях знания одновременно.

¶Интересные факты

• В компьютерной игре «Морской бой» (морской бой с расстановкой кораблей) координаты клеток поля обозначаются буквами и цифрами; в некоторых школьных вариантах игры поле 6×6 клеток, а его левый верхний угол служит исходной точкой для нумерации.
• В шахматной записи исходной точкой шахматной партии считается позиция, представленная на диаграмме в начале партии, с которой начинается нумерация ходов.

¶Примечания

Понятие «исходная точка» не имеет единого формального определения: его содержание уточняется контекстом конкретной задачи или раздела науки.

Источники:

• Кудрявцев Л. Д. Краткий словарь современных математических понятий. — М.: Просвещение.
• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — М.: Мир.
• Дейкстра Э. О дисциплине программирования. — М.: Мир.
• Вентцель Е. С. Теория вероятностей. — М.: Наука.
• Большой энциклопедический словарь. — М.: Большая российская энциклопедия.