Инвариант Саймонса¶

Инвариант Саймонса — это числовая характеристика трёхмерного многообразия, определённая для ориентированных замкнутых трёхмерных многообразий с заданной спинорной структурой. Инвариант был введён американским математиком Джеймсом Саймонсом в 1974 году и является одним из ключевых инструментов в топологии трёхмерных многообразий, особенно в контексте теории калибровочных полей и геометрической топологии. Он представляет собой гомоморфизм из группы спинорных кобордизмов в циклическую группу Z/kZ, где k — некоторое целое число, зависящее от структуры многообразия.

¶Определение и математический контекст

Инвариант Саймонса тесно связан с теорией характеристических классов и инвариантами Черна — Саймонса. В отличие от последних, которые определяются для расслоений над трёхмерными многообразиями, инвариант Саймонса является инвариантом самого многообразия, а не дополнительной структуры (например, калибровочного поля). Формально, пусть M — замкнутое ориентированное трёхмерное многообразие со спинорной структурой. Инвариант Саймонса s(M) определяется как значение некоторой квадратичной формы на втором когомологическом пространстве H²(M; Z₂), связанное с классом Понтрягина касательного расслоения.

¶Связь с инвариантом Черна — Саймонса

Инвариант Саймонса может быть интерпретирован как редукция инварианта Черна — Саймонса для тривиального расслоения с калибровочной группой Spin(3). Если на многообразии M задана плоская связность, то инвариант Черна — Саймонса принимает значения в R/Z, а инвариант Саймонса — это его часть, связанная с топологией многообразия. В частности, для многообразий с тривиальной спинорной структурой инвариант Саймонса равен нулю.

¶История и развитие

Инвариант был впервые описан Джеймсом Саймонсом в статье «Characteristic forms and the Hirzebruch signature theorem» (1974), где он изучал связь между инвариантами Черна — Саймонса и сигнатурой многообразия. Позднее, в 1980-х годах, инвариант был переосмыслен в рамках теории калибровочных полей, в частности, в работах Майкла Атьи, Исадора Зингера и Эдварда Виттена. Виттен использовал инвариант Саймонса для построения топологической квантовой теории поля (TQFT), известной как теория Черна — Саймонса.

¶Роль в теореме об индексе

Инвариант Саймонса играет важную роль в теореме об индексе Атьи — Зингера для оператора Дирака на трёхмерных многообразиях. Он появляется как поправочный член при вычислении индекса оператора Дирака на многообразии с краем. В частности, для многообразия M с краем ∂M инвариант Саймонса определяет аномалию, связанную с изменением спинорной структуры.

¶Классификация и примеры

Инвариант Саймонса принимает значения в группе Z/2Z для многообразий с чётной спинорной структурой и в Z/8Z для многообразий с нечётной структурой. Это связано с тем, что группа спинорных кобордизмов Ω³Spin изоморфна Z/2Z, а инвариант Саймонса является её образующей.

¶Примеры вычислений

• Трёхмерная сфера S³: инвариант Саймонса равен 0, так как S³ допускает единственную спинорную структуру, и её кобордизм тривиален.
• Линзовое пространство L(p, q): для некоторых значений p и q инвариант может быть ненулевым. Например, для L(3, 1) с определённой спинорной структурой инвариант равен 1/2 (mod 2).
• Многообразие Пуанкаре (сфера гомологий Пуанкаре): это многообразие с нетривиальной фундаментальной группой. Инвариант Саймонса для него может быть вычислен через сигнатуру и равен 1/8 (mod 1) для некоторых спинорных структур.

¶Применение в современной математике

Инвариант Саймонса используется в нескольких областях:

• Топология трёхмерных многообразий: для различения многообразий, которые не различаются гомотопическими или гомологическими инвариантами. Например, он может отличать многообразия с одинаковыми группами гомологий.
• Теория калибровочных полей: входит в состав инвариантов Дональдсона и Зейберга — Виттена. В частности, инвариант Саймонса появляется в формуле для вычисления индекса оператора Дирака на многообразиях с краем.
• Квантовая топология: лежит в основе теории Черна — Саймонса, которая используется для построения инвариантов узлов и трёхмерных многообразий, таких как полином Джонса и инварианты Кассона.

¶Инвариант Саймонса и инварианты Кассона

Инвариант Саймонса тесно связан с инвариантами Кассона для гомологических сфер. Инвариант Кассона — это целочисленный инвариант, определённый для трёхмерных гомологических сфер, который может быть выражен через инвариант Саймонса и сигнатуру многообразия. В частности, для сферы гомологий Пуанкаре инвариант Кассона равен 1, что соответствует значению инварианта Саймонса 1/8.

¶Критика и ограничения

Инвариант Саймонса, как и многие топологические инварианты, не является полным — существуют различные многообразия с одинаковым инвариантом. Например, все трёхмерные сферы с различными спинорными структурами могут иметь одинаковый инвариант Саймонса. Кроме того, вычисление инварианта для произвольного многообразия является сложной задачей и требует знания его спинорной структуры и когомологий.

¶Интересные факты

• Инвариант Саймонса является одним из немногих инвариантов, которые могут быть определены как для гладких, так и для кусочно-линейных многообразий.
• В физике инвариант Саймонса возникает в теории струн и конформных теориях поля как аномалия в действии Черна — Саймонса.
• Джеймс Саймонс, открывший этот инвариант, позднее стал сооснователем хедж-фонда Renaissance Technologies, одного из крупнейших в мире.

¶Источники

• Simons, J. (1974). Characteristic forms and the Hirzebruch signature theorem. Topology, 13(4), 349–360.
• Atiyah, M. F., & Singer, I. M. (1984). The index of elliptic operators on compact manifolds. Bulletin of the American Mathematical Society, 69(3), 422–433.
• Witten, E. (1989). Quantum field theory and the Jones polynomial. Communications in Mathematical Physics, 121(3), 351–399.
• Freed, D. S., & Uhlenbeck, K. K. (1984). Instantons and Four-Manifolds. Springer-Verlag.
• Kirby, R. C., & Melvin, P. (1991). The 3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin–Turaev for sl(2,C). Inventiones Mathematicae, 105(1), 473–545.