Группы Конвея¶

Группы Конвея — это три спорадические конечные простые группы, открытые британским математиком Джоном Хортоном Конвеем в 1968—1969 годах. Они обозначаются Co₁, Co₂ и Co₃ и являются подгруппами группы автоморфизмов решётки Лича — 24-мерной целочисленной решётки, обладающей исключительной плотностью упаковки шаров. Группы Конвея входят в классификацию конечных простых групп, завершённую в 1980-х годах, и относятся к так называемому «счастливому семейству» спорадических групп, связанных с монстром.

¶История открытия

В 1967 году Джон Лич открыл 24-мерную решётку, названную впоследствии его именем. Эта решётка обладает уникальными свойствами: она унимодулярна (определитель её матрицы Грама равен 1) и чётна (квадрат длины любого вектора — чётное число). В 1968 году Джон Конвей начал изучать группу автоморфизмов этой решётки — то есть множество всех ортогональных преобразований (вращений и отражений) 24-мерного пространства, сохраняющих решётку Лича. Он обнаружил, что эта группа, обозначаемая 0 (или ·0), имеет порядок 8 315 553 613 086 720 000 и содержит три новые спорадические простые группы в качестве фактор-групп или подгрупп. Результаты были опубликованы в 1969 году в статье «A group of order 8,315,553,613,086,720,000» в журнале Bulletin of the London Mathematical Society.

¶Определение и обозначения

Группы Конвея определяются через группу автоморфизмов решётки Лича Λ. Пусть ·0 — полная группа автоморфизмов Λ (включая отражения). Тогда:

• Co₁ — это фактор-группа ·0 по её центру, который состоит из двух элементов: тождественного преобразования и центральной симметрии (умножения всех векторов на −1). Таким образом, Co₁ = ·0 / {±1}. Порядок Co₁ равен 4 157 776 806 543 360 000.
• Co₂ — это стабилизатор в Co₁ вектора типа 2 (вектора с квадратом длины 4). Порядок Co₂ — 42 305 421 312 000.
• Co₃ — это стабилизатор в Co₁ вектора типа 3 (вектора с квадратом длины 6). Порядок Co₃ — 495 766 656 000.

Все три группы являются простыми, то есть не содержат нетривиальных нормальных подгрупп.

¶Свойства и структура

¶Co₁

Группа Co₁ — одна из 26 спорадических групп. Её порядок равен: 4 157 776 806 543 360 000 = 2²¹ · 3⁹ · 5⁴ · 7² · 11 · 13 · 23. Она содержит максимальные подгруппы, среди которых:

• Co₂ (индекс 98 280),
• Co₃ (индекс 8 386 560),
• группа Маклафлина McL,
• группа Хигмана-Симса HS,
• группа Судзуки Suz,
• группа Янко J₂,
• группа U₆(2) (унитарная группа).

Co₁ действует 2-транзитивно на множестве из 196 560 векторов минимальной длины (нормы 2) решётки Лича. Это число — 196 560 — известно как число касающихся шаров в 24-мерной упаковке шаров.

¶Co₂

Порядок Co₂ равен: 42 305 421 312 000 = 2¹⁸ · 3⁶ · 5³ · 7 · 11 · 23. Она является стабилизатором вектора типа 2. Максимальные подгруппы включают:

• U₆(2),
• McL,
• HS,
• Suz,
• J₂,
• группа PSU₄(3).

Co₂ действует на множестве из 4 600 векторов, ортогональных фиксированному вектору типа 2.

¶Co₃

Порядок Co₃ равен: 495 766 656 000 = 2¹⁰ · 3⁷ · 5³ · 7 · 11 · 23. Она является стабилизатором вектора типа 3. Максимальные подгруппы включают:

• McL,
• HS,
• Suz,
• J₂,
• группа PΩ₇(3) (ортогональная группа).

Co₃ действует на множестве из 55 296 векторов, ортогональных фиксированному вектору типа 3.

¶Связь с другими спорадическими группами

Группы Конвея тесно связаны с другими спорадическими группами. В частности, все они являются подгруппами группы-монстра M (наибольшей спорадической группы). Это следует из того, что решётка Лича может быть вложена в алгебру вершинных операторов, ассоциированную с монстром. Кроме того, группы Конвея входят в так называемый «счастливый треугольник» — диаграмму включений спорадических групп, включающую также группы Фишера и группу Хигмана-Симса.

¶Применение и значение

Группы Конвея играют важную роль в теории конечных групп, теории представлений и математической физике. Они используются:

• В классификации конечных простых групп — как один из 26 спорадических случаев.
• В теории решёток — для изучения свойств решётки Лича и её автоморфизмов.
• В теории кодирования — через связь с совершенными кодами Голея (24-битный код Голея связан с решёткой Лича).
• В теории струн и конформной теории поля — как симметрии 24-мерных бозонных струн.

¶Интересные факты

• Группа ·0 (полная группа автоморфизмов решётки Лича) иногда называется «группой Конвея нулевого уровня».
• Число 196 560 — количество векторов минимальной длины в решётке Лича — равно числу касающихся единичных шаров в 24-мерном пространстве, что является максимально возможным для этой размерности.
• Группы Конвея были открыты вскоре после открытия решётки Лича, и их изучение привело к систематизации многих спорадических групп.

¶Источники

• Conway, J. H. (1969). «A group of order 8,315,553,613,086,720,000». Bulletin of the London Mathematical Society.
• Conway, J. H.; Sloane, N. J. A. (1999). Sphere Packings, Lattices and Groups. Springer.
• Wilson, R. A. (2009). The Finite Simple Groups. Springer.
• Griess, R. L. (1998). Twelve Sporadic Groups. Springer.