Гептагон — семиугольник в геометрии¶

Гептагон (от др.-греч. ἑπτά — «семь» и γωνία — «угол») — многоугольник с семью сторонами и семью углами. Сумма внутренних углов гептагона равна 900°, сумма внешних углов — 360°. Гептагон относится к простым (невыпуклым или выпуклым) многоугольникам; наиболее изучен выпуклый правильный гептагон, у которого все стороны и все углы равны.

¶Виды гептагонов

Как и любой многоугольник, гептагон может быть:

• Выпуклым — если все его внутренние углы меньше 180°, а отрезки, соединяющие любые две его вершины, лежат внутри фигуры.
• Вогнутым (невыпуклым) — если хотя бы один внутренний угол превышает 180°.
• Правильным — если все стороны равны по длине и все внутренние углы равны между собой.
• Неправильным — если стороны и/или углы не совпадают.

Правильный гептагон не может быть построен с помощью циркуля и линейки — это доказано на основании теории Гаусса о конструктируемых многоугольниках: правильный n-угольник строим тогда и только тогда, когда n является произведением степени двойки и попарно различных чисел Ферма. Число 7 не удовлетворяет этому условию, поэтому для построения правильного гептагона используются приближённые методы, транспортир или специальные чертёжные инструменты.

¶Свойства правильного гептагона

Пусть сторона правильного гептагона равна a. Тогда:

• Каждый внутренний угол равен 900°/7 ≈ 128,571°.
• Каждый внешний угол равен 360°/7 ≈ 51,429°.
• Радиус описанной окружности R = a / (2·sin(π/7)) ≈ 0,525·a.
• Радиус вписанной окружности r = a / (2·tan(π/7)) ≈ 0,438·a.
• Площадь S = (7/4)·a²·cot(π/7) ≈ 3,634·a².

Тригонометрические функции угла π/7 выражаются через алгебраические числа: например, cos(π/7), cos(3π/7) и cos(5π/7) являются корнями кубического уравнения 8x³ − 4x² − 4x + 1 = 0. Это свойство роднит гептагон с другими «трудными» правильными многоугольниками и находит применение в теории чисел и алгебраической геометрии.

¶Построение гептагона

Поскольку точное циркульно-линейечное построение правильного гептагона невозможно, на практике используются:

• Приближённое построение — с точностью до сотых долей угла. Наиболее известен метод, основанный на том, что хорда, отсекающая 1/7 часть окружности, имеет длину, которую можно аппроксимировать с высокой точностью.
• Транспортир — деление окружности на 7 равных частей по градусной шкале (51,43°).
• Чертёжный метод Наполеона Бонапарта — приписывают правильному гептагону историю создания: якобы будущий император предложил решение задачи о делении окружности на семь частей в качестве ответа на школьное упражнение. Достоверность этой истории не подтверждена.

¶Гептагон в природе и культуре

Семиугольная форма встречается реже пяти- и шестиугольной, что связано с тем, что 7 — не делитель 360°, и семью равными частями окружность делится нецелое число градусов. Тем не менее гептагон встречается:

• В кристаллографии — в форме некоторых зёрен и границ зерен, хотя пентагоны и гексагоны встречаются чаще.
• В ботанике — у некоторых цветов с семью лепестками (например, у ряда видов люпина, гортензии).
• В архитектуре и символике — семиугольные планы зданий, витражи, гербы. Семь — число, символизирующее в ряде культур полноту и завершённость (семь дней недели, семь чудес света, семь нот).
• В геральдике и флагах — семиугольные элементы встречаются в декоративных композициях.

¶Гептагон в математике

Гептагон фигурирует в рядах задач комбинаторной геометрии:

• Задача о разбиении плоскости — максимальное число частей, на которые плоскость делится n прямыми, при n = 7 равно 29; при этом 7-угольники могут возникать как одни из образующихся ячеек.
• Задача Тарского — о наименьшем числе кругов, покрывающих единичный круг, и связанные с ней покрытия, где гептагоны играют роль промежуточных фигур.
• Теория тесселяций — правильные гептагоны не тесселируют плоскость (в отличие от гексагонов), что является частным случаем факта о невозможности периодической укладки плоскости правильными n-угольниками при n ≠ 3, 4, 6.

¶Интересные факты

• 7 — наименьшее число сторон, при котором правильный многоугольник нельзя построить циркулем и линейкой (после 5-угольника, который строим, и 6-угольника, который тоже строим, первым «нестроимым» идёт именно 7-угольник).
• В компьютерной графике и 3D-моделировании гептагоны используются как промежуточная геометрия при триангуляции сложных поверхностей.
• В спорте существуют разновидности соревнований по гептагональным траекториям (например, семиугольные автодромы), хотя они остаются экзотикой.

¶Источники

• Ефимов Н. В. Высшая геометрия. — М.: Наука.
• Лурье И. К. Аналитическая геометрия. — М.: Высшая школа.
• Заславский А. А. Геометрические построения. — М.: Наука.
• Bold B. N. Famous Problems of Geometry and How to Solve Them. — Dover Publications.
• Coxeter H. S. M. Regular Polytopes. — Dover Publications.