Формулы двойного угла в тригонометрии¶

Формулы двойного угла — это тригонометрические тождества, выражающие синус, косинус, тангенс и котангенс угла \(2\alpha\) через функции угла \(\alpha\). Они относятся к группе формул кратных углов и широко применяются в математике, физике, инженерии и вычислительной практике для упрощения выражений, решения уравнений и преобразования тригонометрических зависимостей.

¶Основные тождества

Базовые формулы двойного угла для синуса и косинуса имеют вид:

• \(\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\);
• \(\cos 2\alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\).

Формулу косинуса часто записывают в эквивалентных формах, получаемых с помощью основного тригонометрического тождества \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\):

• \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha\);
• \(\cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha - 1\).

Для тангенса и котангенса справедливы соотношения:

• \(\operatorname{tg} 2\alpha = \dfrac{2 \operatorname{tg} \alpha}{1 - \operatorname{tg}^2 \alpha}\);
• \(\operatorname{ctg} 2\alpha = \dfrac{\operatorname{ctg}^2 \alpha - 1}{2 \operatorname{ctg} \alpha}\).

Формулы для тангенса и котангенса определены при условиях, когда знаменатели не обращаются в нуль и сами функции существуют.

¶Вывод из формул сложения

Формулы двойного угла не являются самостоятельными аксиомами — они выводятся из формул сложения (формул синуса и косинуса суммы). Если положить \(\beta = \alpha\), то:

\(\sin(\alpha + \alpha) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha\);

\(\cos(\alpha + \alpha) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha = \cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha\).

Аналогично из формулы тангенса суммы \(\operatorname{tg}(\alpha + \beta) = \dfrac{\operatorname{tg}\alpha + \operatorname{tg}\beta}{1 - \operatorname{tg}\alpha \operatorname{tg}\beta}\) при \(\beta = \alpha\) получается выражение для \(\operatorname{tg} 2\alpha\). Таким образом, формулы двойного угла — частный случай более общих формул сложения.

¶Формулы понижения степени

Обратное применение формул косинуса двойного угла даёт так называемые формулы понижения степени, которые позволяют перейти от квадратов тригонометрических функций к функциям удвоенного аргумента:

• \(\sin^2 \alpha = \dfrac{1 - \cos 2\alpha}{2}\);
• \(\cos^2 \alpha = \dfrac{1 + \cos 2\alpha}{2}\).

Эти тождества лежат в основе формул половинного угла и активно используются при интегрировании, в спектральном анализе и при решении уравнений.

¶Применение

Формулы двойного угла применяются в нескольких типовых задачах.

Упрощение выражений. Они позволяют сводить выражения с удвоенным аргументом к функциям одинарного аргумента и наоборот, что удобно при доказательстве тождеств.

Решение уравнений. Уравнения вида \(\sin 2x = \cos x\) или \(\cos 2x + \sin x = 0\) решаются приведением к одной функции одного аргумента с последующей заменой переменной.

Вычисление значений. Зная \(\sin \alpha\) и \(\cos \alpha\), можно найти точные значения функций угла \(2\alpha\) без обращения к таблицам.

Физика и техника. Формулы используются при описании колебаний, в теории переменного тока, в оптике и акустике, где встречаются зависимости с удвоенной частотой или фазой.

¶Примеры вычислений

Пусть \(\sin \alpha = \dfrac{3}{5}\), \(\cos \alpha = \dfrac{4}{5}\) (угол первой четверти). Тогда:

• \(\sin 2\alpha = 2 \cdot \dfrac{3}{5} \cdot \dfrac{4}{5} = \dfrac{24}{25}\);
• \(\cos 2\alpha = \dfrac{16}{25} - \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}\).

Проверка через формулу \(\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha\) даёт \(1 - 2 \cdot \dfrac{9}{25} = \dfrac{7}{25}\), что совпадает с предыдущим результатом.

Для \(\operatorname{tg}\alpha = 1\) (угол \(45^\circ\)) формула тангенса двойного угла даёт \(\operatorname{tg} 90^\circ\), что соответствует неопределённости: знаменатель \(1 - \operatorname{tg}^2\alpha\) обращается в нуль. Это иллюстрирует ограничения области допустимых значений.

¶Связь с другими формулами

Формулы двойного угла обобщаются на тройной и кратные углы, а также связаны с формулами половинного угла, формулами понижения степени и универсальной тригонометрической подстановкой. В комплексном анализе аналогом служит формула Муавра, из которой тригонометрические тождества кратных углов выводятся единообразно.

¶Значение в учебном курсе

В российской школьной программе формулы двойного угла изучаются в курсе алгебры и начал анализа в старших классах, обычно после формул сложения. Они входят в перечень базовых тригонометрических тождеств, обязательных для усвоения, и проверяются на едином государственном экзамене в заданиях на преобразование выражений и решение уравнений.

Источники: учебники алгебры и начал математического анализа для 10–11 классов, справочники по элементарной математике, материалы по тригонометрии.