Формула Томсона для колебательного контура¶

Формула Томсона — аналитическое выражение, определяющее период собственных (свободных) электромагнитных колебаний в идеальном колебательном контуре через индуктивность и электроёмкость. Она связывает период T с индуктивностью катушки L и ёмкостью конденсатора C:

T = 2π√(LC)

Формула названа в честь английского физика Уильяма Томсона (лорда Кельвина), который в 1853 году теоретически описал колебательный разряд конденсатора через индуктивность. Соответственно, циклическая частота собственных колебаний равна ω = 1/√(LC), а частота в герцах — f = 1/(2π√(LC)).

¶Физический смысл

В колебательном контуре энергия периодически переходит из электрического поля конденсатора в магнитное поле катушки и обратно. Когда конденсатор разряжается, ток в катушке растёт, запасая энергию в магнитном поле; затем ток продолжает течь по инерции и перезаряжает конденсатор. Этот процесс повторяется, если потери энергии отсутствуют.

Формула Томсона описывает идеализированный случай: активное сопротивление контура равно нулю, а внешние источники ЭДС отсутствуют. В реальном контуре часть энергии рассеивается на сопротивлении, поэтому колебания затухают, а их частота несколько отличается от значения, даваемого формулой Томсона.

¶Вывод

Вывод опирается на второй закон Кирхгофа для замкнутого контура. При отсутствии активного сопротивления сумма напряжений на катушке и конденсаторе равна нулю:

L·(di/dt) + q/C = 0

Учитывая, что сила тока i = dq/dt, получают дифференциальное уравнение:

L·(d²q/dt²) + q/C = 0, или d²q/dt² + (1/LC)·q = 0

Это уравнение гармонических колебаний вида d²q/dt² + ω²q = 0, где ω² = 1/LC. Его решение — заряд, меняющийся по гармоническому закону с частотой ω, откуда и следует период T = 2π√(LC).

¶Границы применимости

Формула справедлива при выполнении ряда условий:

• сопротивление потерь мало (R → 0), так что колебания можно считать незатухающими;
• контур содержит сосредоточенные элементы — катушку и конденсатор, размеры которых малы по сравнению с длиной волны;
• параметры L и C постоянны и не зависят от тока и напряжения;
• отсутствуют внешние источники, поддерживающие колебания.

Если сопротивление заметно, используется модель затухающих колебаний: период становится равным T = 2π/√(1/LC − (R/2L)²), а при большом сопротивлении колебания вовсе не возникают. Для цепей с распределёнными параметрами (длинные линии, СВЧ-резонаторы) формула Томсона в чистом виде неприменима.

¶Применение

Соотношение лежит в основе расчёта и настройки колебательных систем:

• Радиотехника. Настройка приёмников и передатчиков на нужную частоту изменением ёмкости конденсатора или индуктивности катушки.
• Генераторы. Задание частоты автоколебаний в LC-генераторах.
• Фильтры. Расчёт резонансных частот частотно-избирательных цепей.
• Метрология. Косвенное измерение индуктивности или ёмкости по измеренному периоду колебаний.

Формула Томсона — частный случай более общего выражения для резонансной частоты, и её часто называют формулой резонансной частоты контура.

¶Пример

Пусть L = 1 мГн (10⁻³ Гн), C = 1 мкФ (10⁻⁶ Ф). Тогда:

LC = 10⁻⁹, √(LC) = 3,16·10⁻⁵ с, T = 2π·3,16·10⁻⁵ ≈ 1,99·10⁻⁴ с ≈ 0,2 мс.

Соответствующая частота f ≈ 5 кГц. Уменьшение ёмкости в четыре раза снижает период вдвое, поскольку период пропорционален квадратному корню из произведения LC.

¶Родственные величины

¶Значение

Формула Томсона — одно из базовых соотношений теории электрических цепей. Она связывает механические и электрические колебания в единую математическую модель: уравнение контура совпадает по форме с уравнением пружинного маятника, что демонстрирует общность колебательных процессов в физике. На её основе построены расчёты радиоприёмной и генераторной аппаратуры, а также учебные курсы по электродинамике и радиотехнике.

Источники: учебники по общей физике (Савельев, Сивухин), курсы теории электрических цепей, справочники по радиотехнике.