Формула суммы Симпсона¶
Формула суммы Симпсона — численный метод приближённого вычисления определённых интегралов, предложенный шотландским математиком Томасом Симпсоном в 1743 году. Метод основан на замене интегрируемой функции параболой, проходящей через три соседние точки, и позволяет получать приближение с точностью, пропорциональной четвёртой степени шага разбиения. Формула широко применяется в вычислительной математике, физике и инженерных расчётах.
¶История
Идея параболической интерполяции для численного интегрирования была известна и до Симпсона: аналогичные приёмы использовали Грегори, Кавалери и другие математики XVII века. Тем не менее именно Томас Симпсон (1710—1761) в 1743 году опубликовал формулу в её классической форме, и его имя закрепилось за методом. В русскоязычной литературе формула также известна как правило Симпсона или параболическое правило.
¶Суть метода
Для вычисления интеграла
$$\int_a^b f(x)\,dx$$
отрезок $[a, b]$ разбивается на $2n$ равных частей с шагом $h = \frac{b-a}{2n}$. Внутренние точки разбиения обозначают $x_1, x_2, \dots, x_{2n-1}$, а значения функции в узлах — $y_i = f(x_i)$. Тогда
$$\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{h}{3}\Bigl(y_0 + 4y_1 + 2y_2 + 4y_3 + 2y_4 + \dots + 4y_{2n-1} + y_{2n}\Bigr).$$
Коэффициенты 4 и 2 чередуются: крайние узлы входят с весом 1, нечётные внутренние — с весом 4, чётные — с весом 2.
¶Вывод формулы
Формула выводится из аппроксимации функции параболой $P(x) = Ax^2 + Bx + C$, интерполирующей $f(x)$ в трёх последовательных узлах $x_{2k}, x_{2k+1}, x_{2k+2}$. Интеграл параболы на отрезке длиной $2h$ вычисляется точно и даёт
$$\int_{x_{2k}}^{x_{2k+2}} P(x)\,dx = \frac{h}{3}\bigl(f(x_{2k}) + 4f(x_{2k+1}) + f(x_{2k+2})\bigr).$$
Суммирование по всем парам узлов приводит к общей формуле. Локальная погрешность на каждом отрезке имеет порядок $O(h^5)$, а суммарная — $O(h^4)$, что делает метод точнее трапеций и средних прямоугольников при том же числе вычислений функции.
¶Погрешность
Для достаточно гладкой функции погрешность формулы Симпсона оценивается как
$$\left|\int_a^b f(x)\,dx - S\right| \le \frac{(b-a)h^4}{180}\max_{\xi\in[a,b]}|f^{(4)}(\xi)|,$$
где $S$ — значение приближения по формуле Симпсона. Если четвёртая производная функции равна нулю (например, для многочленов степени не выше трёх), формула даёт точный результат.
¶Пример
Вычислим $\int_0^1 x^2\,dx$ с одним отрезком ($n=1$, $h=0.5$): $y_0 = 0$, $y_1 = 0.25$, $y_2 = 1$. Тогда
$$S = \frac{0.5}{3}(0 + 4\cdot 0.25 + 1) = \frac{1}{6}\cdot 2 = \frac{1}{3},$$
что совпадает с точным значением $\frac{1}{3}$ — ожидаемо, так как $x^2$ является параболой.
¶Варианты и обобщения
- Составная формула Симпсона — применение правила на каждом подотрезке разбиения; описана выше.
- Правило 3/8 Симпсона — вариант с кубической интерполяцией по четырём точкам и шагом $3h$; коэффициенты $1, 3, 3, 1$.
- Композитная кубическая формула — обобщение на произвольные разбиения.
¶Применение
Формула Симпсона используется в численном интегрировании, при решении дифференциальных уравнений (метод Рунге — Кутты и др. используют квадратурные формулы), в обработке сигналов и вычислительной физике. В учебных курсах математического анализа и вычислительной математики метод входит в стандартный набор квадратурных формул наряду с формулами трапеций и Ньютона — Котеса.
Источники:
- Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений
- Бернштейн С. Н. Лекции по численным методам
- Крылов В. И. Лекции о вычислительных методах
- Википедия: «Формула Симпсона»