Формула Родрига для полиномов Лежандра¶

Формула Родрига для полиномов Лежандра — это компактное аналитическое выражение, позволяющее вычислять полиномы Лежандра \(P_n(x)\) через n-ю производную от \((x^2 - 1)^n\). Формула имеет вид:

\[ P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} \left( x^2 - 1 \right)^n \]

Она названа в честь французского математика Бенджамина Олинда Родрига, который опубликовал её в 1816 году. Формула Родрига является частным случаем более общей формулы Родрига для классических ортогональных полиномов (полиномов Якоби, Эрмита, Лагерра) и служит одним из стандартных способов определения полиномов Лежандра наряду с рекуррентными соотношениями и производящей функцией.

¶Вывод формулы

Формула выводится из дифференциального уравнения Лежандра:

\[ (1 - x^2) y'' - 2x y' + n(n+1) y = 0 \]

Подстановка \(y = \frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n\) и последующее дифференцирование по правилу Лейбница позволяют показать, что данная функция удовлетворяет уравнению при соответствующей нормировке. Нормировочный множитель \(1/(2^n n!)\) выбирается из условия \(P_n(1) = 1\). Действительно, \(\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n\) при \(x = 1\) равно \(2^n n!\), что и даёт требуемую нормировку.

¶Свойства и следствия

Из формулы Родрига непосредственно вытекают несколько важных свойств полиномов Лежандра:

• Чётность: \(P_n(-x) = (-1)^n P_n(x)\), поскольку \((x^2 - 1)^n\) — чётная функция, а её n-я производная меняет чётность в зависимости от n.
• Целочисленность коэффициентов: все коэффициенты полинома \(P_n(x)\) являются рациональными числами, а при стандартной нормировке — целыми.
• Ортогональность: формула Родрига удобна для доказательства ортогональности полиномов Лежандра на отрезке \([-1, 1]\) с весом 1 через интегрирование по частям.

¶Примеры вычисления

Приведём первые несколько полиномов, полученных по формуле Родрига:

• \(n = 0\): \(P_0(x) = 1\)
• \(n = 1\): \(P_1(x) = x\)
• \(n = 2\): \(P_2(x) = \frac{1}{2}(3x^2 - 1)\)
• \(n = 3\): \(P_3(x) = \frac{1}{2}(5x^3 - 3x)\)
• \(n = 4\): \(P_4(x) = \frac{1}{8}(35x^4 - 30x^2 + 3)\)

¶Обобщения

Формула Родрига обобщается на другие системы ортогональных полиномов:

• Полиномы Лагерра: \(L_n(x) = \frac{e^x}{n!} \frac{d^n}{dx^n}(x^n e^{-x})\)
• Полиномы Эрмита: \(H_n(x) = (-1)^n e^{x^2} \frac{d^n}{dx^n} e^{-x^2}\)
• Полиномы Якоби: \(P_n^{(\alpha, \beta)}(x) = \frac{(-1)^n}{2^n n!} (1-x)^{-\alpha} (1+x)^{-\beta} \frac{d^n}{dx^n} \left[ (1-x)^{\alpha+n} (1+x)^{\beta+n} \right]\)

В случае полиномов Лежандра параметры Якоби равны \(\alpha = \beta = 0\).

¶Применение

Формула Родрига широко используется в:

• Численных методах: для вычисления узлов и весов квадратур Гаусса — Лежандра.
• Математической физике: при решении уравнения Лапласа в сферических координатах (шаровые функции).
• Теории приближений: для построения наилучших полиномиальных приближений в среднеквадратичном смысле.
• Квантовой механике: в задачах о моменте количества движения и сферических гармониках.

Несмотря на кажущуюся громоздкость, формула Родрига удобна для символьных вычислений и теоретического анализа, тогда как для численных расчётов чаще применяют рекуррентные соотношения.

¶Источники

• Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Т. 2. — М.: Наука, 1974.
• Никифоров А. Ф., Уваров В. Б. Специальные функции математической физики. — М.: Наука, 1984.
• Суетин П. К. Классические ортогональные многочлены. — М.: Физматлит, 2005.