Формула Планка и квантовая гипотеза¶

Формула Планка — математическое выражение, описывающее спектральную плотность энергии теплового (равновесного) излучения абсолютно чёрного тела как функцию частоты или длины волны. Получена немецким физиком Максом Планком в 1900 году и стала фундаментом квантовой теории: для её вывода Планку пришлось ввести предположение о дискретности энергии излучения.

¶Формулировка

В современной записи спектральная плотность энергетической светимости абсолютно чёрного тела по частоте имеет вид:

B(ν, T) = (2hν³ / c²) · 1 / (e^(hν/kT) − 1),

где ν — частота излучения, T — абсолютная температура, c — скорость света в вакууме, k — постоянная Больцмана, h — постоянная Планка. Величина B(ν, T) измеряется в Вт·ср⁻¹·м⁻²·Гц⁻¹.

Часто используется эквивалентная форма для длины волны λ:

B(λ, T) = (2hc² / λ⁵) · 1 / (e^(hc/λkT) − 1).

Обе записи описывают один и тот же физический закон; переход между ними требует учёта якобиана при замене переменной, поэтому множители перед дробью различаются.

¶Предпосылки

К концу XIX века классическая физика не могла объяснить наблюдаемые спектры нагретых тел. Формула Рэлея — Джинса, выведенная из законов классической электродинамики и статистики, хорошо согласовывалась с опытом в области длинных волн, но при малых длинах волн предсказывала неограниченный рост энергии — так называемую «ультрафиолетовую катастрофу». Закон Вина, напротив, работал в коротковолновой области, но расходился с данными в инфракрасной.

Макс Планк, занимаясь проблемой теплового излучения с 1894 года, первоначально искал формулу чисто эмпирически, подбирая выражение, которое совпадало бы с опытными данными во всём диапазоне. 19 октября 1900 года он доложил Немецкому физическому обществу найденную интерполяционную формулу, а 14 декабря того же года представил её теоретический вывод. Эта дата часто считается днём рождения квантовой физики.

¶Квантовая гипотеза

Для вывода формулы Планк был вынужден отказаться от ключевого положения классической физики — представления об энергии как о непрерывной величине. Он предположил, что энергия излучается и поглощается отдельными порциями — квантами, величина которых пропорциональна частоте:

E = hν.

Коэффициент пропорциональности h, названный впоследствии постоянной Планка, оказался одной из фундаментальных констант природы. Сам Планк поначалу рассматривал квантование как формальный математический приём, а не как отражение реальной структуры излучения; окончательное признание дискретности энергии связано с работами Альберта Эйнштейна (фотоэффект, 1905), Нильса Бора (модель атома, 1913) и последующим развитием квантовой механики.

¶Предельные случаи и следствия

Из формулы Планка как предельные случаи вытекают ранее известные законы:

• Закон Стефана — Больцмана. Интегрирование B(ν, T) по всем частотам даёт полную энергетическую светимость, пропорциональную T⁴: R = σT⁴, где σ — постоянная Стефана — Больцмана, выражаемая через h, k и c.
• Закон смещения Вина. Положение максимума кривой определяется соотношением λ_max · T = b, где b — постоянная Вина. Зависимость максимума от температуры объясняет, почему при нагреве тело меняет цвет от красного к белому.
• Формула Рэлея — Джинса. При hν ≪ kT экспоненту можно разложить в ряд, и формула Планка переходит в классическое выражение, устраняя ультрафиолетовую катастрофу в коротковолновой области.
• Закон Вина. При hν ≫ kT знаменатель определяется экспонентой, что даёт коротковолновую асимптотику.

¶Значение

Формула Планка описывает излучение не только абсолютно чёрного тела, но и, с определёнными оговорками, спектры звёзд, нагретых поверхностей и реликтового излучения Вселенной, которое с высокой точностью соответствует планковскому спектру при температуре около 2,7 К. Через неё определяются фундаментальные постоянные, а с 2019 года постоянная Планка входит в число констант, фиксированных в Международной системе единиц (СИ), — на её значении основано современное определение килограмма.

В теоретической физике с постоянной Планка связаны планковские единицы — длина, время, масса и температура, — которые задают масштаб, где классическая гравитация и квантовые эффекты становятся сравнимы по величине. Формула Планка остаётся одним из наиболее точно проверенных законов физики: отклонения от неё не обнаружены в широком диапазоне температур и частот.

¶Источники

• Планк М. О законе распределения энергии в нормальном спектре.
• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Оптика.
• Савельев И. В. Курс общей физики.