Формула медианы в статистике¶

Формула медианы — математическое выражение для вычисления медианы, то есть значения, которое делит упорядоченный набор данных на две равные по числу элементов части. Медиана относится к структурным средним величинам и применяется в статистике, теории вероятностей и прикладном анализе данных для характеристики центра распределения. В отличие от среднего арифметического, медиана устойчива к резким выбросам, поэтому её часто используют при описании доходов, цен и других асимметричных показателей.

¶Определение медианы

Медианой (обозначается Me или M) называют такое число m, что не менее половины элементов выборки не превосходят m, и не менее половины — не меньше m. Для упорядоченного по возрастанию ряда x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ xₙ медиана определяется в зависимости от чётности объёма выборки n.

¶Формула для дискретного ряда

Для набора из n чисел, расположенных в порядке возрастания, применяются два случая.

Нечётное число элементов. Если n = 2k + 1, медиана равна элементу, стоящему в середине ряда:

Me = x₍ₖ₊₁₎

Например, для ряда 3, 5, 7, 9, 11 (n = 5, k = 2) медиана равна x₃ = 7.

Чётное число элементов. Если n = 2k, медиана равна полусумме двух центральных элементов:

Me = (xₖ + x₍ₖ₊₁₎) / 2

Например, для ряда 2, 4, 6, 8 (n = 4, k = 2) медиана равна (4 + 6) / 2 = 5.

Обязательное условие применения обеих формул — предварительная сортировка данных по возрастанию или убыванию. Без упорядочивания формула даёт неверный результат.

¶Формула для интервального ряда

Когда данные сгруппированы в интервальный вариационный ряд, точное значение каждого наблюдения неизвестно, и медиану вычисляют по специальной формуле. Сначала находят медианный интервал — интервал, в котором накопленная частота впервые превышает половину общего числа наблюдений. Затем применяют выражение:

Me = x₀ + h · (n/2 − Sₘₑ₋₁) / fₘₑ

где:

• x₀ — нижняя граница медианного интервала;
• h — ширина медианного интервала;
• n — общий объём совокупности (сумма частот);
• Sₘₑ₋₁ — накопленная частота интервалов, предшествующих медианному;
• fₘₑ — частота медианного интервала.

Эта формула предполагает равномерное распределение наблюдений внутри каждого интервала — стандартное допущение при работе со сгруппированными данными.

¶Свойства медианы

• Медиана не чувствительна к экстремальным значениям. Если в выборке 1, 2, 3, 4, 1000, медиана равна 3, тогда как среднее арифметическое составляет 202.
• Сумма абсолютных отклонений элементов от медианы минимальна среди всех возможных точек: для любого числа a выполняется Σ|xᵢ − Me| ≤ Σ|xᵢ − a|.
• Для симметричного распределения медиана совпадает со средним арифметическим и модой.
• Медиана определена для любых наборов, включая порядковые (ранговые) данные, где среднее арифметическое неприменимо.
• Медиана является квантилем уровня 0,5: она делит совокупность ровно пополам.

¶Медиана в теории вероятностей

Для непрерывной случайной величины с функцией распределения F(x) медиана — это решение уравнения F(m) = 0,5. Иными словами, это значение, при котором вероятность оказаться левее и правее одинакова. Для дискретной случайной величины медиана определяется как наименьшее значение, при котором функция распределения достигает или превышает 0,5. Если распределение имеет плотность f(x), медиана находится из условия:

∫₋∞^m f(x) dx = 0,5

Для нормального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием μ. Для показательного распределения с параметром λ медиана равна ln(2)/λ ≈ 0,693/λ.

¶Применение

Медиана широко используется там, где распределение сильно скошено или содержит выбросы.

В России медианная заработная плата рассчитывается Росстатом и публикуется с определённой периодичностью; она заметно ниже средней арифметической, поскольку последняя завышается высокими доходами небольшой группы работников. Медианный возраст населения России, по данным переписей, steadily повышается, что отражает демографическое старение.

¶Медиана и другие средние

Среднее арифметическое учитывает все значения и потому сильно реагирует на выбросы. Мода показывает наиболее часто встречающееся значение. Медиана занимает промежуточное положение: она опирается только на позицию элементов в упорядоченном ряду. В асимметричных распределениях, например при распределении доходов, эти три величины не совпадают, и медиана точнее описывает «типичное» значение.

¶Вычисление на практике

При работе с большими массивами данных медиану находят алгоритмически: сортировкой с последующим выбором центрального элемента либо с помощью специализированных алгоритмов поиска k-й порядковой статистики (например, алгоритма «медиана медиан»), которые работают за линейное время. В электронных таблицах и статистических пакетах используются встроенные функции — MEDIAN, МЕДИАНА и аналоги. При чётном числе наблюдений такие функции автоматически возвращают полусумму двух центральных значений, что соответствует приведённой формуле.

¶Ограничения

Медиана не использует всю информацию о выборке, поэтому менее эффективна, чем среднее арифметическое, при симметричных распределениях без выбросов. Для малых выборок она может быть неустойчивой. Кроме того, медиана не аддитивна: медиана объединённой совокупности не выводится напрямую из медиан её частей, что затрудняет агрегирование данных.

Источники: учебники по теории вероятностей и математической статистике, справочные материалы по описательной статистике, публикации Росстата о медианных показателях доходов и возраста населения.