Формула интегрирования по частям¶
Формула интегрирования по частям — одно из основных правил интегрального исчисления, позволяющее свести вычисление интеграла от произведения функций к вычислению другого интеграла, который в ряде случаев оказывается проще исходного. В неопределённом интеграле правило записывается в виде
∫ u dv = uv − ∫ v du,
где u = u(x) и v = v(x) — дифференцируемые функции действительной переменной. Для определённого интеграла на отрезке [a, b] формула принимает вид
∫ₐᵇ u dv = [uv]ₐᵇ − ∫ₐᵇ v du.
Правило непосредственно следует из формулы дифференцирования произведения и является интегральным аналогом правила Лейбница (uv)′ = u′v + uv′.
¶Вывод
Из правила дифференцирования произведения:
d(uv) = u dv + v du.
Интегрируя обе части, получают:
uv = ∫ u dv + ∫ v du,
откуда после переноса слагаемого и получается формула интегрирования по частям. Для определённого интеграла дополнительно применяют формулу Ньютона — Лейбница, что даёт подстановку [uv]ₐᵇ = u(b)v(b) − u(a)v(a).
¶Условия применимости
Формула справедлива, если функции u и v непрерывно дифференцируемы на рассматриваемом промежутке, а интеграл ∫ v du существует. На практике это означает, что подынтегральное выражение удаётся представить в виде произведения u и dv так, чтобы обе части были «удобными»: u при дифференцировании упрощается, а dv легко интегрируется.
¶Выбор функций u и dv
Успех применения метода во многом определяется удачным разбиением подынтегрального выражения. Существует практическая рекомендация, известная как правило LIATE (или близкое правило «ЛОГАРИФМ-ОБРАТНЫЕ-АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ-ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ-ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНЫЕ»): в качестве u выбирают функцию, стоящую в этом списке раньше. Порядок таков:
- логарифмические функции (ln x, logₐ x);
- обратные тригонометрические (arcsin x, arctg x и др.);
- алгебраические (многочлены, степенные xⁿ);
- тригонометрические (sin x, cos x);
- экспоненциальные (eˣ, aˣ).
Чем выше функция в списке, тем охотнее её берут за u, поскольку её производная проще исходной функции.
¶Типовые примеры
Интеграл от произведения многочлена и экспоненты. Для ∫ x eˣ dx полагают u = x, dv = eˣ dx. Тогда du = dx, v = eˣ, и
∫ x eˣ dx = x eˣ − ∫ eˣ dx = x eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C.
Интеграл от логарифма. Для ∫ ln x dx полагают u = ln x, dv = dx. Тогда du = dx / x, v = x, и
∫ ln x dx = x ln x − ∫ x · (1/x) dx = x ln x − x + C.
Это классический пример, где применение правила превращает «неберущийся напрямую» интеграл в табличный.
Интеграл от произведения многочлена и тригонометрической функции. Для ∫ x sin x dx берут u = x, dv = sin x dx, откуда du = dx, v = −cos x и
∫ x sin x dx = −x cos x + ∫ cos x dx = −x cos x + sin x + C.
¶Кратное применение
Если u — многочлен степени n, правило применяют n раз, последовательно понижая степень. Например, для ∫ x² eˣ dx интегрирование по частям проводят дважды, пока под интегралом не останется только экспонента. Это даёт систематический способ вычисления интегралов вида ∫ P(x) eᵃˣ dx, ∫ P(x) sin(bx) dx, ∫ P(x) cos(bx) dx, где P — многочлен.
¶Циклические интегралы
Для интегралов вида ∫ eᵃˣ sin(bx) dx или ∫ eᵃˣ cos(bx) dx двукратное интегрирование по частям возвращает исходный интеграл. Обозначив искомый интеграл через I, получают линейное уравнение относительно I, из которого его выражают. Например, для ∫ eˣ sin x dx после двух применений правила приходят к равенству I = eˣ(sin x − cos x) − I, откуда I = ½ eˣ(sin x − cos x) + C.
¶Рекуррентные формулы
Интегрирование по частям служит основным инструментом вывода рекуррентных (понижающих) формул для интегралов, зависящих от целочисленного параметра. Так получают формулы приведения для ∫ sinⁿ x dx, ∫ cosⁿ x dx, ∫ xⁿ eˣ dx, ∫ dx / (x² + a²)ⁿ и многих других. Каждый шаг понижает показатель степени на единицу, сводя задачу к табличному интегралу.
¶Применение в анализе и физике
Помимо вычисления интегралов, правило используется при доказательстве теорем. С его помощью устанавливают оценки интегралов, выводят неравенства, исследуют сходимость несобственных интегралов. В математической физике интегрирование по частям лежит в основе вывода формул Грина, интегрирования по частям в кратных и криволинейных интегралах, а также в обосновании метода разделения переменных. В вариационном исчислении и теории дифференциальных уравнений в частных производных оно позволяет переносить производные с одной функции на другую, что применяется при определении обобщённых (слабых) решений.
¶Обобщения
Формула обобщается на кратные интегралы (формула Грина, формула Остроградского), на криволинейные и поверхностные интегралы, а также на интеграл Римана — Стилтьеса и интеграл Лебега. В абстрактном виде правило формулируется для операторов в функциональных пространствах и связано с понятием сопряжённого оператора. Существует и дискретный аналог — формула суммирования по частям (преобразование Абеля), применяемая в теории рядов и комбинаторике.
¶Значение
Интегрирование по частям наряду с заменой переменной относится к двум главным приёмам вычисления интегралов. Оно не даёт универсального алгоритма, но существенно расширяет класс функций, интегралы от которых выражаются в элементарных функциях, и служит связующим звеном между дифференциальным и интегральным исчислением.
Источники: учебники по математическому анализу (Г. М. Фихтенгольц, В. А. Ильин, Э. И. Позняк), справочники по интегралам (И. С. Градштейн, И. М. Рыжик), материалы по курсу высшей математики.