Формула дисперсии в теории вероятностей¶

Дисперсия — числовая характеристика случайной величины, описывающая меру её рассеяния относительно математического ожидания. В теории вероятностей и математической статистике дисперсия показывает, насколько значения случайной величины в среднем отклоняются от своего среднего значения. Формула дисперсии лежит в основе анализа вариабельности данных, оценки точности измерений и построения статистических выводов.

¶Определение и основная формула

Для случайной величины \(X\) с математическим ожиданием \(M[X] = \mu\) дисперсия определяется как математическое ожидание квадрата отклонения от среднего:

\[ D[X] = M\left[(X - \mu)^2\right] \]

Это определение применимо как к дискретным, так и к непрерывным случайным величинам. Квадрат отклонения берётся для того, чтобы положительные и отрицательные отклонения не компенсировали друг друга, а также чтобы придать величине неотрицательные значения.

Эквивалентная, часто более удобная для вычислений формула связывает дисперсию со вторым моментом:

\[ D[X] = M[X^2] - (M[X])^2 \]

То есть дисперсия равна разности между средним квадратом значения и квадратом среднего. Эта форма нередко называется «рабочей формулой дисперсии» и широко применяется при ручных расчётах.

¶Формулы для разных типов величин

¶Дискретная случайная величина

Если \(X\) принимает значения \(x_1, x_2, \dots, x_n\) с вероятностями \(p_1, p_2, \dots, p_n\), то:

\[ D[X] = \sum_{i=1}^{n} p_i (x_i - \mu)^2 \]

где \(\mu = \sum_{i=1}^{n} p_i x_i\).

¶Непрерывная случайная величина

Для непрерывной величины с плотностью распределения \(f(x)\):

\[ D[X] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^2 f(x)\, dx \]

где \(\mu = \int_{-\infty}^{+\infty} x f(x)\, dx\).

¶Свойства дисперсии

Дисперсия обладает рядом свойств, облегчающих вычисления:

• Неотрицательность: \(D[X] \geq 0\), причём \(D[X] = 0\) только для постоянной величины.
• Дисперсия константы: \(D[C] = 0\).
• Вынесение константы: \(D[CX] = C^2 D[X]\) — множитель выносится в квадрате.
• Сдвиг: \(D[X + C] = D[X]\) — прибавление константы не меняет рассеяния.
• Дисперсия суммы: \(D[X + Y] = D[X] + D[Y] + 2\,\text{cov}(X, Y)\), где \(\text{cov}\) — ковариация. Для независимых величин \(D[X + Y] = D[X] + D[Y]\).

¶Среднеквадратическое отклонение

Корень из дисперсии называется среднеквадратическим отклонением (стандартным отклонением):

\[ \sigma = \sqrt{D[X]} \]

В отличие от дисперсии, эта величина измеряется в тех же единицах, что и сама случайная величина, поэтому часто используется для наглядной оценки разброса.

¶Выборочная дисперсия

В статистике на основе выборки объёма \(n\) со значениями \(x_1, \dots, x_n\) вычисляют выборочную дисперсию. Смещённая оценка (деление на \(n\)):

\[ S^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

Несмещённая оценка (деление на \(n-1\)):

\[ s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2 \]

где \(\bar{x}\) — выборочное среднее. Деление на \(n-1\) (поправка Бесселя) обеспечивает несмещённость оценки математического ожидания дисперсии генеральной совокупности.

¶Пример вычисления

Пусть случайная величина \(X\) — число очков при бросании правильного кубика. Возможные значения: 1, 2, 3, 4, 5, 6, каждое с вероятностью \(1/6\).

Среднее: \(\mu = (1+2+3+4+5+6)/6 = 3{,}5\).

Средний квадрат: \(M[X^2] = (1+4+9+16+25+36)/6 = 91/6 \approx 15{,}17\).

Дисперсия: \(D[X] = 15{,}17 - 3{,}5^2 = 15{,}17 - 12{,}25 = 2{,}92\).

Среднеквадратическое отклонение: \(\sigma \approx 1{,}71\).

¶Значение и применение

Дисперсия используется в самых разных областях:

• Теория вероятностей — для описания распределений наряду с математическим ожиданием.
• Математическая статистика — в дисперсионном анализе, проверке гипотез, построении доверительных интервалов.
• Эконометрика — оценка качества моделей, анализ гетероскедастичности.
• Физика и техника — оценка погрешностей измерений, анализ шумов.
• Финансы — мера риска доходности активов; в портфельной теории дисперсия доходности служит количественной характеристикой волатильности.
• Машинное обучение — анализ разброса признаков, нормализация данных.

¶Связь с другими характеристиками

Дисперсия связана с ковариацией: \(\text{cov}(X, X) = D[X]\). Через неё определяются коэффициент корреляции, асимметрия и другие моменты распределения. В неравенстве Чебышёва дисперсия задаёт границу вероятности больших отклонений от среднего:

\[ P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2} \]

Это неравенство показывает, что при малой дисперсии значения величины сосредоточены вблизи среднего.

¶Источники

• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей.
• Вентцель Е. С. Теория вероятностей.
• Колмогоров А. Н. Основные понятия теории вероятностей.
• Математическая энциклопедия.