Флуктуация в физике и статистике¶

Флуктуация — это самопроизвольное отклонение какого-либо физического или статистического параметра от его среднего (усреднённого) значения, обусловленное дискретностью, стохастичностью или тепловым движением составляющих системы. Термин происходит от латинского fluctuatio — «колебание». Флуктуации проявляются в самых разных областях: в статистической физике, теории вероятностей, радиоэлектронике, биологии, экономике и других науках.

¶Основные характеристики

Флуктуации носят случайный характер: их величина и знак не могут быть предсказаны заранее, однако их статистические свойства — среднее значение, дисперсия, корреляционные функции — вполне определимы. Если система находится в термодинамическом равновесии, среднее значение флуктуируемой величины совпадает с её равновесным значением, а типичный масштаб отклонений уменьшается с ростом числа частиц в системе.

Ключевая количественная характеристика флуктуаций — их среднеквадратичное отклонение. Для величины $A$ оно определяется выражением

$$\sqrt{\langle (\Delta A)^2 \rangle} = \sqrt{\langle A^2 \rangle - \langle A \rangle^2},$$

где угловые скобки обозначают усреднение по ансамблю состояний или по времени.

¶Флуктуации в статистической физике

В статистической физике флуктуации рассматриваются как неизбежное следствие конечности числа частиц и дискретности микроскопических состояний. Согласно флюктуационно-диссипационной теореме, разработанной в 1950-е годы Л. Д. Ландау и, независимо, М. С. Грином и П. Морелем, интенсивность флуктуаций в системе, находящейся в равновесии, связана с коэффициентами её линейного отклика на внешние воздействия. Эта теорема позволяет вычислять спектр шумов в физических системах, зная их макроскопические характеристики.

Простейший пример — броуновское движение: хаотическое движение микроскопических частиц в жидкости, открытое Р. Броуном в 1827 году и теоретически объяснённое А. Эйнштейном в 1905 году. Эйнштейн показал, что среднеквадратичное смещение частицы пропорционально времени и обратно пропорционально вязкости среды. Работа М. Смолуховского, выполненная в 1906—1908 годах, уточнила эту теорию и связала коэффициент диффузии с температурой и размерами частицы.

Крупномасштабные флуктуации плотности вещества в ранней Вселенной послужили зародышами будущих структур — галактик и сверхскоплений галактик. Теория их происхождения, инфляционная модель, была предложена в 1980-е годы А. А. Старобинским и А. Д. Линде.

¶Флуктуации в теории вероятностей и математической статистике

В математике флуктуациями называют отклонения случайной величины от её математического ожидания. Центральная предельная теорема устанавливает, что сумма большого числа независимых одинаково распределённых случайных величин имеет распределение, близкое к нормальному, причём типичное отклонение от среднего растёт как корень из числа слагаемых. Это объясняет, почему флуктуации интенсивности усредняются при увеличении объёма системы.

Закон больших чисел гарантирует сходимость среднего арифметического случайных величин к математическому ожиданию при увеличении числа наблюдений. Тем не менее флуктуации не исчезают полностью: они лишь становятся относительно меньше по сравнению со средним значением.

¶Флуктуации в радиотехнике и электронике

В радиотехнике флуктуации проявляются в виде электрических шумов. Источниками шумов являются тепловые (броуновские) колебания электронов в проводниках — джоулевы шумы, а также дискретность заряда электрона, приводящая к шоттки-шумам в полупроводниковых приборах и фотодетекторах. Уровень теплового шума пропорционален абсолютной температуре, что определяет нижний порог чувствительности радиоприёмников и телескопов.

Для борьбы с флуктуационными шумами применяют охлаждение приёмных устройств (в радиоастрономии — до нескольких кельвин), методы корреляционного накопления сигнала и сложение многократных измерений.

¶Флуктуации в биологии и медицине

В биологических системах флуктуации проявляются на всех уровнях — от случайного характера срабатывания отдельных ионных каналов до вариабельности численности популяций. Случайные изменения численности особей в небольших популяциях называются генетическим дрейфом и были описаны в 1920-е годы С. Райтом и Р. Фишером. Генетический дрейф приводит к случайным изменениям частот аллелей и особенно заметен в малых популяциях.

В медицинской статистике флуктуации биомаркеров (например, артериального давления или уровня глюкозы) учитываются при постановке диагноза: единичное измерение может существенно отклоняться от истинного среднего уровня пациента, поэтому рекомендуется многократное измерение.

¶Флуктуации в экономике

В экономике флуктуациями называют краткосрочные отклонения макроэкономических показателей — валового внутреннего продукта, инфляции, безработицы — от их трендовых значений. Эти колебания связаны с циклическим характером экономического развития и случайными шоками (изменение цен на нефть, пандемии, политические события). Различают краткосрочные, сезонные и циклические компоненты временных рядов.

¶Флуктуации в квантовой механике

В квантовой механике флуктуации электромагнитного поля вакуума приводят к таким эффектам, как лэмбовский сдвиг уровней атома водорода (открыт экспериментально в 1947 году) и эффект Казимира — притяжение двух незаряженных проводящих пластин, обусловленное изменением спектра вакуумных мод при их сближении. Квантовые флуктуации поля играют важную роль в теории рождения частиц в сильных электрических полях.

¶Исторические сведения

Термин «флуктуация» вошёл в физическую литературу в начале XX века в связи с развитием статистической механики Л. Больцмана и Дж. Гиббса. Систематическую теорию равновесных флуктуаций разработали в 1930-е годы Л. Д. Ландау и Е. М. Лифшиц, изложив её в курсе «Статистическая физика». Вклад в теорию флуктуаций в неравновесных системах внесли И. Пригожин (теория диссипативных структур, Нобелевская премия по химии 1977 года) и Н. Н. Боголюбов (методы квантовой статистической механики).

Источники:

• Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. — М.: Наука.
• Эйнштейн А. О движении, зависящем от температуры, suspended в жидкостях // Annalen der Physik, 1905.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир.
• Феллер В. Введение в теорию вероятностей и её приложения. — М.: Мир.