Факторпространство¶

Факторпространство — это топологическое пространство, получаемое из исходного топологического пространства путём отождествления (склеивания) его точек в соответствии с заданным отношением эквивалентности. Факторпространство является фундаментальным понятием общей топологии и алгебраической топологии, позволяющим строить новые пространства из уже известных, моделировать склейки, свёртки и деформации. Операция перехода к факторпространству называется факторизацией.

¶Определение

Пусть \(X\) — топологическое пространство, а \(\sim\) — отношение эквивалентности на множестве \(X\). Фактормножество \(X / \sim\) — это множество классов эквивалентности точек \(X\). На этом множестве вводится фактортопология — наиболее сильная топология, при которой каноническая проекция \[ \pi: X \to X / \sim, \quad \pi(x) = [x] \] (где \([x]\) — класс эквивалентности точки \(x\)) является непрерывной. Иными словами, подмножество \(U \subseteq X / \sim\) считается открытым тогда и только тогда, когда его прообраз \(\pi^{-1}(U)\) открыт в \(X\).

Пространство \(X / \sim\) с такой топологией называется факторпространством пространства \(X\) по отношению \(\sim\).

¶Свойства

¶Непрерывность и замкнутость

Каноническая проекция \(\pi\) является непрерывным и сюръективным отображением. Она не обязана быть открытым или замкнутым отображением, но если отношение эквивалентности задано действием группы или является открытым, то проекция может обладать дополнительными свойствами.
Если \(X\) компактно, то \(X / \sim\) также компактно, так как непрерывный образ компакта компактен.
Если \(X\) связно, то \(X / \sim\) связно.

¶Аксиомы отделимости

Факторпространство хаусдорфова пространства не обязательно хаусдорфово. Для того чтобы \(X / \sim\) было хаусдорфовым, необходимо и достаточно, чтобы отношение эквивалентности \(\sim\) было замкнутым подмножеством в \(X \times X\) (то есть график отношения был замкнут).
Если \(X\) — компактное хаусдорфово пространство, а \(\sim\) — замкнутое отношение эквивалентности, то \(X / \sim\) также компактно и хаусдорфово.

¶Универсальное свойство

Факторпространство обладает универсальным свойством: для любого непрерывного отображения \(f: X \to Y\), постоянного на каждом классе эквивалентности (то есть \(f(x) = f(y)\) при \(x \sim y\)), существует единственное непрерывное отображение \(\tilde{f}: X / \sim \to Y\) такое, что \(f = \tilde{f} \circ \pi\).

¶Примеры

¶Склейка отрезка в окружность

Рассмотрим отрезок \(I = [0, 1]\) с обычной топологией. Введём отношение эквивалентности, отождествляющее точки 0 и 1: \(0 \sim 1\), все остальные точки эквивалентны только сами себе. Факторпространство \(I / \sim\) гомеоморфно окружности \(S^1\). Этот пример иллюстрирует, как склейка концов отрезка даёт замкнутую кривую.

¶Склейка квадрата в тор

Пусть \(X = [0, 1] \times [0, 1]\) — единичный квадрат. Отождествим противоположные стороны: \((0, y) \sim (1, y)\) и \((x, 0) \sim (x, 1)\) для всех \(x, y \in [0, 1]\). Полученное факторпространство гомеоморфно тору \(T^2 = S^1 \times S^1\). Аналогично, склейка сторон с переворотом даёт бутылку Клейна или проективную плоскость.

¶Факторпространство по действию группы

Пусть группа \(G\) действует на топологическом пространстве \(X\) непрерывно. Отношение эквивалентности: \(x \sim y\) тогда и только тогда, когда существует \(g \in G\) такой, что \(g \cdot x = y\). Факторпространство \(X / G\) называется орбифолдом (или пространством орбит). Пример: действие группы \(\mathbb{Z}_2\) на сфере \(S^n\) антиподальным отображением (\(x \sim -x\)) даёт вещественное проективное пространство \(\mathbb{RP}^n\).

¶Факторпространство по подпространству

Если \(A \subseteq X\) — замкнутое подмножество, то можно определить отношение, при котором все точки \(A\) отождествляются в одну точку, а остальные остаются без изменений. Факторпространство \(X / A\) получается стягиванием \(A\) в точку. Например, \(D^n / \partial D^n \cong S^n\) — диск с отождествлённой границей гомеоморфен сфере.

¶Применения

¶В алгебраической топологии

Факторпространства широко используются для построения клеточных комплексов (CW-комплексов). Склейка клеток по границам — это операция факторизации. Например, букет окружностей, тор, сфера и другие многообразия строятся как факторпространства многогранников.

¶В теории групп и геометрии

Факторпространства по действию групп (орбифолды) применяются в теории пространств модулей, в геометрической теории групп, в теории слоений. Например, пространство модулей римановых поверхностей является факторпространством пространства Тейхмюллера по действию модулярной группы.

¶В анализе и дифференциальной геометрии

Факторпространства используются для построения пространств с особенностями, например, конусов и вееров. В дифференциальной геометрии факторгладкие многообразия по действию групп Ли дают новые многообразия (например, грассманианы).

¶В физике

В общей теории относительности факторпространства по действию групп симметрий используются для построения пространственно-временных моделей, например, пространств с постоянной кривизной. В квантовой теории поля факторпространства возникают при калибровочных преобразованиях.

¶Связь с другими понятиями

¶Факторотображение

Непрерывное сюръективное отображение \(f: X \to Y\) называется факторотображением, если топология на \(Y\) является фактортопологией относительно \(f\). Это эквивалентно тому, что \(f\) — факторное отображение. Любое факторпространство задаётся факторотображением, и наоборот.

¶Фактортопология и отождествление

Фактортопология — это частный случай топологии, индуцированной отображением. Она является наиболее грубой топологией, при которой проекция непрерывна. В отличие от топологии подпространства, фактортопология может быть «богаче» исходной.

¶Факторпространство и гомотопия

В гомотопической теории факторпространства используются для построения конусов, надстроек и петель. Например, редуцированная надстройка \(\Sigma X\) — это факторпространство \(X \times I / (X \times \{0\} \cup X \times \{1\} \cup \{x_0\} \times I)\).

¶Интересные факты

Факторпространство может быть нехаусдорфовым даже для очень простых пространств. Например, если на отрезке \([0, 1]\) отождествить все точки из \((0, 1)\) в одну, то полученное пространство будет иметь неотделимые точки.
Операция факторизации не сохраняет метризуемость: факторпространство метризуемого пространства может быть неметризуемым. Пример — факторпространство \(\mathbb{R}\) по отношению \(x \sim y\) если \(x - y \in \mathbb{Q}\) даёт пространство с тривиальной топологией.
В алгебраической топологии факторпространства часто используются для вычисления гомотопических групп и гомологий. Например, гомологии тора вычисляются через разбиение квадрата на клетки.

¶Источники

Бурбаки Н. Общая топология. Основные структуры. — М.: Наука, 1968.
Куратовский К. Топология. Том 1. — М.: Мир, 1966.
Хатчер А. Алгебраическая топология. — М.: МЦНМО, 2011.
Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.