Единичный вектор: определение и свойства¶

Единичный вектор — вектор длины (нормы) равной единице. В евклидовом пространстве это вектор, расстояние от начала координат до конца которого равно 1. Единичные векторы используются для задания направлений: любой ненулевой вектор может быть представлен в виде произведения его длины на единичный вектор того же направления.

В трёхмерном пространстве единичный вектор, направленный вдоль оси X, обозначается i, вдоль оси Y — j, вдоль оси Z — k. Эти три вектора образуют ортонормированный базис декартовой системы координат.

¶Определение

В векторном пространстве с нормой единичным называется вектор, норма которого равна 1:

‖v‖ = 1.

В евклидовом пространстве Rⁿ с стандартной евклидовой нормой условие единичности для вектора v = (v₁, v₂, …, vₙ) записывается как:

v₁² + v₂² + … + vₙ² = 1.

Геометрически множество всех единичных векторов n-мерного пространства образует единичную сферу Sⁿ⁻¹ радиуса 1 с центром в начале координат. В трёхмерном случае это обычная сфера радиуса 1.

¶Нормализация

Любой ненулевой вектор v можно привести к единичному виду делением на его длину. Операция называется нормализацией:

u = v / ‖v‖.

Полученный вектор u сохраняет направление исходного вектора v, а его длина равна единице. Если v = (3, 4), то ‖v‖ = √(3² + 4²) = 5, и нормализованный вектор равен (3/5, 4/5). Проверка: (3/5)² + (4/5)² = 9/25 + 16/25 = 1.

Нормализация определена для всех ненулевых векторов; вектор 0 нормализовать нельзя, так как деление на ноль не определено.

¶Связь с косинусом угла

Ключевое свойство единичных векторов связано со скалярным произведением. Для двух единичных векторов a и b их скалярное произведение равно косинусу угла между ними:

a · b = ‖a‖ · ‖b‖ · cos θ = cos θ.

Это следует из общего определения скалярного произведения через длины векторов и угол между ними. Следствия:

• единичные векторы a и b перпендикулярны тогда и только тогда, когда a · b = 0;
• a · a = 1 для любого единичного вектора;
• |a · b| ≤ 1 — неравенство Коши — Буняковского в частном случае.

Для произвольных векторов u и v косинус угла между ними вычисляется как:

cos θ = (u · v) / (‖u‖ · ‖v‖) = eᵤ · eᵥ,

где eᵤ и eᵥ — единичные векторы соответствующих направлений.

¶Ортонормированный базис

Система векторов {e₁, e₂, …, eₙ} называется ортонормированным базисом, если все векторы единичны и попарно ортогональны:

eᵢ · eⱼ = 0 при i ≠ j, eᵢ · eᵢ = 1.

В R³ стандартный ортонормированный базис образуют векторы i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0), k = (0, 0, 1). Любой вектор v = (v₁, v₂, vₙ) разлагается в этом базисе как:

v = v₁i + v₂j + v₃k,

где координаты vᵢ = v · eᵢ.

Любой ортонормированный базис можно получить из стандартного ортогональным преобразованием (поворотом или отражением). Число ортонормированных базисов в R³ не ограничено — они соответствуют всем ориентированным или неориентированным системам координат.

¶Единичные векторы в линейной алгебре

В произвольном векторном пространстве с нормой единичные векторы играют роль «эталонов направления». В частности:

• Коллинеарность: векторы u и v коллинеарны тогда и только тогда, когда их нормализованные версии совпадают или противоположны: u/‖u‖ = ± v/‖v‖.
• Норма суммы: для единичных векторов a и b выполнено ‖a + b‖² = 2 + 2(a · b).
• Матрицы поворота: строки (и столбцы) матрицы поворота в R³ образуют ортонормированный базис. Определитель такой матрицы равен 1.

¶Применение

Единичные векторы применяются в множестве областей:

• Компьютерная графика: направления взгляда, нормали поверхностей, освещение задаются единичными векторами. В шейдерах операция normalize() применяется постоянно.
• Физика: единичные векторы используются для описания направлений сил, скоростей, поляризации волн.
• Машинное обучение: косинусная близость векторов — метрика сходства объектов — вычисляется через скалярное произведение их нормализованных представлений.
• Навигация и робототехника: единичные векторы задают ориентацию тел и сенсоров.

¶Единичный вектор и единичная матрица

Не следует путать единичный вектор с единичной матрицей. Единичная матрица I — квадратная матрица, у которой единицы на главной диагонали и нули вне её. Связь между ними: единичная матрица может быть представлена как сумма тензорных произведений ортонормированных векторов:

I = Σ eᵢ ⊗ eᵢ.

¶Символы обозначения

В трёхмерной физике и математике сложилась система обозначений единичных векторов, связанных с осями или ортонормированным базисом:

Иногда единичные векторы обозначают «шапкой» над символом: û = u/‖u‖.

Источники:

• Курош А. Г. Курс линейной алгебры
• Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры
• Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия
• Гантмахер Ф. Р. Теория матриц