Дифференциал функции¶

Дифференциал функции — основное понятие математического анализа, характеризующее линейную часть приращения функции при малом изменении независимой переменной. Для функции действительной переменной $y = f(x)$ дифференциал обозначается $dy$ и определяется как произведение производной функции на приращение аргумента: $dy = f'(x)\,dx$, где $dx = \Delta x$ — приращение независимой переменной, а $f'(x)$ — производная функции в точке $x$. Дифференциал является главной линейной частью полного приращения функции $\Delta y$, то есть приращением, пропорциональным $\Delta x$.

¶Определение

Пусть функция $y = f(x)$ определена в окрестности точки $x_0$. Приращение аргумента $\Delta x$ вызывает приращение функции $\Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)$. Если существует конечный предел

$$f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x},$$

то функция называется дифференцируемой в точке $x_0$, а выражение $dy = f'(x_0)\,dx$ — её дифференциалом в этой точке.

Приращение $\Delta y$ можно представить в виде

$$\Delta y = f'(x_0)\,\Delta x + o(\Delta x),$$

где $o(\Delta x)$ — бесконечно малое более высокого порядка. Первая слагаемая $f'(x_0)\,\Delta x$ и есть дифференциал $dy$. Таким образом, дифференциал приближённо равен приращению функции, причём относительная ошибка этого приближения стремится к нулю при $\Delta x \to 0$.

¶Связь с производной

Дифференциал и производная тесно связаны: из определения $dy = f'(x)\,dx$ следует, что производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента:

$$f'(x) = \frac{dy}{dx}.$$

Запись $\frac{dy}{dx}$, введённая Лейбницем, подчёркивает, что производная — это частное двух дифференциалов, хотя $dy$ и $dx$ не являются самостоятельными числами в строгом смысле, а рассматриваются как символы линейного приближения. В этом отношении дифференциал функции более фундаментален, чем производная: понятие дифференциала обобщается на многомерные и векторные случаи, где запись «частной производной как частного» утрачивает смысл.

¶Геометрический смысл

Геометрически дифференциал функции в точке $x_0$ равен приращению ординаты касательной к графику функции, проведённой в этой точке. Если уравнение касательной записать как $y = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)$, то при $x = x_0 + \Delta x$ приращение ординаты касательной составит именно $f'(x_0)\,\Delta x = dy$. Приращение же самой функции $\Delta y$ отличается от $dy$ бесконечно малым более высокого порядка, что визуально означает: вблизи точки касания график функции и касательная практически неразличимы.

¶Виды дифференциалов

• Первого порядка — обыкновенный дифференциал $dy = f'(x)\,dx$, описанный выше.
• Второго порядка — дифференциал дифференциала: $d^2y = d(dy) = f''(x)\,(dx)^2$. Обозначается $d^2y$, а не $d(dy)$, чтобы подчеркнуть квадратичную зависимость от $dx$.
• Высших порядков — $d^ny = f^{(n)}(x)\,(dx)^n$ для $n$-й производной.

Дифференциалы высших порядков используются при построении полиномов Тейлора и оценке погрешностей приближённых вычислений.

¶Дифференциал функции многих переменных

Для функции двух переменных $z = f(x, y)$ дифференциал первого порядка определяется как

$$dz = \frac{\partial f}{\partial x}\,dx + \frac{\partial f}{\partial y}\,dy,$$

где $\frac{\partial f}{\partial x}$ и $\frac{\partial f}{\partial y}$ — частные производные. Функция дифференцируема, если её приращение можно представить в виде линейной части плюс бесконечно малое более высокого порядка. В отличие от случая одной переменной, существование частных производных не гарантирует дифференцируемость — требуется дополнительное условие непрерывности частных производных.

Для функции $n$ переменных $y = f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ дифференциал имеет вид

$$dy = \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial f}{\partial x_i}\,dx_i.$$

Такой дифференциал называется полным дифференциалом. Он обладает свойством инвариальности формы: при замене переменных выражение для $dy$ сохраняет структуру суммы частных производных, умноженных на дифференциалы новых переменных.

¶Применение

Дифференциал функции находит применение в нескольких областях:

• Вычислительная математика — для оценки погрешности: $|\Delta y| \approx |dy| = |f'(x)|\,|\Delta x|$ позволяет быстро оценить максимальное отклонение результата при заданной точности аргумента.
• Физика и техника — для записи дифференциальных уравнений, описывающих законы природы (уравнение теплопроводности, уравнение Навье — Стокса и др.).
• Математический анализ — дифференциал лежит в основе определения интеграла как обратной операции к дифференцированию, а также в основе внешней алгебры и дифференциальной геометрии, где понятие дифференциала обобщается на дифференциальные формы.

¶История

Понятие дифференциала было введено Готфридом Лейбницем в конце 1670-х годов одновременно с созданием им математического анализа. Лейбниц рассматривал $dx$ и $dy$ как бесконечно малые приращения — «монады», отношение которых давало производную. Такой подход, основанный на интуитивном понимании бесконечно малых, в XIX веке был заменён строгим предельным определением, сформулированным Огюстеном Коши и Карлом Вейерштрассом, однако лейбницевская символика $dy/dx$ и $dy = f'(x)\,dx$ сохранилась до настоящего времени.

¶Источники

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа.
• Фихтенгольц Г. М. Курс математического анализа.
• Ильин В. А., Позняк Э. Г. Основы математического анализа.
• Бурминский А. С. Математический анализ.