Число π — математическая константа¶
Число π (пи) — математическая константа, равная отношению длины окружности к её диаметру. Независимо от размеров окружности, это отношение всегда составляет примерно 3,14159… π является иррациональным числом: его десятичное представление бесконечно и не периодично, а также трансцендентным — оно не может быть корнем какого-либо алгебраического уравнения с рациональными коэффициентами.
¶Этимология и обозначение
Символ π впервые применил британский математик Уильям Джонс в 1706 году — по первым буквам греческого слова «περιφέρεια» (периферия, окружность). Широкое распространение обозначение получило благодаря Леонарду Эйлеру, использовавшему его в работах 1730-х годов. До этого различные культуры обозначали это отношение словесными описаниями или собственными символами.
¶История вычислений
¶Древний мир
Первые приближения π известны ещё в Древнем Египте и Вавилоне. Египетский папирус Ахмеса (около 1650 года до н. э.) содержит значение (16/9)² ≈ 3,1605. В Древней Греции Архимед (около 250 года до н. э.) впервые применил метод вписанного и описанного многоугольников: суждая окружность 96-угольниками, он получил оценки 223/71 < π < 22/7, то есть от 3,1408 до 3,1429.
¶Средневековье и Новое время
Китайский математик Цзу Чунчжи (V век) установил приближение 355/113, точное до шести знаков после запятой. В XVI–XVII веках вычисления вели Лудольф ван Цейлен (получил 35 знаков, в честь чего π иногда называли «лудольфовым числом»), Франсуа Виет и Джон Уоллис.
¶Эпоха анализа
В XVIII веке появились аналитические формулы. Леонард Эйлер доказал иррациональность числа e, а в 1761 году Иоганн Ламберт доказал иррациональность π. В 1882 году Фердинанд фон Линдеманн доказал трансцендентность π, что окончательно закрыло задачу удвоения куба — показало невозможность построения куба с удвоенным объёмом циркулем и линейкой.
¶XX–XXI века
С появлением электронных вычислений рекорды росли экспоненциально. В 1949 году ЭНИАК вычислил 2037 знаков за 70 часов. В 2021 году компания Compute Consortium установила рекорд в 100 триллионов знаков, а в 2024 году — 202 триллиона знаков. Для большинства научных и инженерных задач достаточно нескольких десятков знаков.
¶Формулы и представления
π можно выразить множеством способов:
- Ряды: 4 − 4/3 + 4/5 − 4/7 + … (ряд Лейбница); 2·(1 + 1/3 + 1/(3·5) + 1/(3·5·7) + …)
- Непрерывные дроби: π = 3 + 1/(7 + 1/(15 + 1/(1 + 1/(292 + …))))
- Интегралы: ∫₀^∞ dx/(1+x²) = π/2; ∫₋∞^∞ e^(−x²) dx = √π (гауссов интеграл)
- Формула Баiley — Борвейна — Плуффа: 1/π = 12·Σ (−1)^k (6k)!(13591409+545140134k) / ((3k)!(k!)³(−640320)^(3k+3/2)), позволяющая вычислять 14 новых знаков за каждую итерацию.
¶Внешний вид в природе и науке
π возникает в задачах, на первый взгляд не связанных с окружностями: в теории вероятностей (нормальное распределение), теории чисел (распределение простых чисел), квантовой механике (принцип неопределённости Гейзенберга), теории колебаний и волн. Формула Эйлера e^(iπ) + 1 = 0 объединяет пять фундаментальных математических констант.
¶Интересные факты
- π является иррациональным, что доказал Ламберт в 1761 году; следовательно, точное значение нельзя записать обыкновенной дробью.
- Порядок цифр в десятичной записи π статистически равновероятен (проверено на триллионах знаков), хотя строгого доказательства равномерности нет.
- 14 марта (3/14 в американском формате даты) отмечается День числа π, совпадающий с днём рождения Альберта Эйнштейна.
- В 1897 году индианский законопроект № 246 фактически пытался установить π = 3,2, но был отклонён губернатором.
¶Применение
π используется во всех разделах математики, связанных с геометрией: вычисление площадей, объёмов, длины дуг. В физике константа входит в уравнения волн, электродинамики, статистической механики. В инженерии — при расчёте шестерён, колёс, трубопроводов, в обработке сигналов и компьютерной графике.
¶Источники
- Борухович, З. Г. «Число π в математике и её приложениях»
- Беклемишев, А. В. «Аналитическая геометрия»
- Постников, М. М. «Теория иррациональных чисел»
- Эйлер, Л. «Интродукция в анализ бесконечных»
- Дэвис, П. Дж. «Число π» (пер. с англ.)