Чётные и нечётные числа¶

Чётное число — целое число, которое делится на 2 без остатка. Иными словами, число n является чётным, если существует такое целое число k, что n = 2k. Числа, не обладающие этим свойством, называются нечётными; их можно представить в виде n = 2k + 1. Понятие чётности относится к базовым свойствам целых чисел и лежит в основе деления чисел на классы, теории делимости и многих алгоритмов.

¶Определение и формальная запись

В математике чётность определяется строго. Целое число a называется чётным, если оно кратно двум, то есть a ≡ 0 (mod 2). Соответственно, нечётное число удовлетворяет сравнению a ≡ 1 (mod 2). Множество чётных чисел бесконечно и обозначается как 2ℤ = {…, −4, −2, 0, 2, 4, …}. Ноль считается чётным числом: он делится на 2 без остатка (0 = 2 · 0).

Понятие распространяется и на другие числовые системы. В кольце целых чисел Гаусса, комплексных чисел вида a + bi с целыми a и b, чётность определяется через делимость на 1 + i. В двоичной системе счисления признак чётности очевиден: чётные числа оканчиваются на 0, нечётные — на 1.

¶Свойства

Чётность обладает набором устойчивых правил, которые изучаются в элементарной арифметике:

• сумма двух чётных чисел чётна; сумма чётного и нечётного нечётна; сумма двух нечётных чётна;
• произведение чётно, если хотя бы один из множителей чётный; произведение двух нечётных чисел нечётно;
• чётное число в любой натуральной степени остаётся чётным;
• при сложении чётного числа с любым другим чётность результата совпадает с чётностью второго слагаемого.

Эти правила удобно записывать через сравнения по модулю 2. Чётность сохраняется при сложении и умножении, что делает её примером гомоморфизма кольца целых чисел в кольцо вычетов ℤ/2ℤ.

¶Проверка чётности

Признак чётности прост: число чётно тогда и только тогда, когда его последняя цифра в десятичной записи — 0, 2, 4, 6 или 8. Это следствие того, что 10 делится на 2. Аналогичный признак работает в любой системе счисления с чётным основанием.

В программировании чётность проверяют несколькими способами. Распространённый метод — вычисление остатка от деления: n % 2 == 0. Другой способ — побитовая операция: n & 1 == 0, поскольку младший бит числа как раз кодирует его чётность. Для отрицательных чисел в языках с разными соглашениями о делении с остатком результат % может отличаться, поэтому побитовый способ считается более надёжным.

¶Применение

Чётность широко используется в математике и прикладных задачах.

В теории чисел чётность лежит в основе доказательства иррациональности √2 методом от противного: предположение о представимости корня в виде несократимой дроби p/q приводит к выводу, что p и q одновременно чётны, что противоречит несократимости.

В комбинаторике и логике применяется принцип чётности и раскраски: задачи о замощении, обходе графов и расстановке фигур часто решаются через подсчёт числа объектов каждого класса чётности. Классический пример — невозможность обойти шахматную доску ходом коня, возвращаясь в исходную клетку за нечётное число шагов.

В информатике младший бит числа используется для быстрых проверок, в криптографии и помехоустойчивом кодировании — бит чётности, дополняющий сумму битов до чётного значения, служит простейшим кодом обнаружения ошибок.

В статистике и повседневной практике чётность применяется при распределении, жеребьёвке и нумерации: чётные и нечётные числа используют для чередования, разделения потоков и составления расписаний.

¶Чётность в культуре и истории

Деление чисел на чётные и нечётные известно с древности. Пифагорейцы придавали чётным и нечётным числам символическое значение, связывая чётное с женским, тёмным и делимым началом, а нечётное — с мужским, светлым и неделимым. В ряде традиций чётные числа считались благоприятными, в других — наоборот; эти представления не имеют математического обоснования.

В русском языке и культуре чётность отражается в приметах: чётное или нечётное число цветов в букете, количество гостей за столом. Эти обычаи относятся к области суеверий и не связаны со свойствами самих чисел.

¶Родственные понятия

С чётностью связаны более общие конструкции. Делимость на произвольное число обобщает деление на два. Функция чётности, возвращающая 0 или 1, является простейшим характером на группе целых чисел. В теории графов различают чётные и нечётные вершины по степени, а эйлеровы циклы существуют лишь в графах, где все вершины имеют чётную степень. В алгебре чётные и нечётные перестановки образуют соответственно знакопеременную и симметрическую группы.

Источники: учебники по элементарной математике и теории чисел, материалы по дискретной математике и программированию, энциклопедические справочники по математике.